A)Genel çarpma özelliği
B) Permütasyon
1) ”n” elemanlı bir kümenin n’li permütasyonu
2) “n”elemanlı bir kümenin r’li permütasyonu
3)Dairesel permütasyon
2)Olasılık:
A)Olay ve olasılık tanımı
B)Ayrık iki olayın olasılığı (A veya B’nin olasılığı)
C)Aynı zamanda geçekleşen bağımsız iki olayın olasılığı(A ve B’nin olasılığı)
İşleniş
Permütasyon ( Büyük )
a) Saymanın Temel İlkesi ( Genel Çarpma Özelliği )
ÖR: Ahmet’in iki değişik pantolonu üç değişik renk gömleği vardır.Ahmet gömlek ile pantolonunu kaç değişik biçimde giyebilir.
ÇÖZÜM: Ahmet’in değişik renk gömlekleri G1,G2,G3 ve pantolonları da P1,P2 olsun.
Ahmet bu giysileri aşağıda gösterilen biçimlerde giyebilir.
1. Giyinme => G1 P1
2. Giyinme => G1 P2
3. Giyinme => G2 P1
4. Giyinme => G2 P2
5. Giyinme => G3 P1
6. Giyinme => G3 P2 biçiminde giyebilir.
Ahmet’in giyinişi 6 değişik biçimde olmaktadır. Bunu kısaca,
Gömlek Pantolon
3 tane 2 tane
3 x 2 = 6 şeklinde buluruz.
Ardışık iki işlemden biri, a değişik yoldan yapılabiliyor. Bu yollardan herhangi biri kullanıldıktan sonra, ikinci bir işlem b değişik yoldan yapılabiliyorsa, ardışık iki işlem a x b değişik yoldan yapılabilir.
Bu özelliğe “Saymanın Temel İlkesi “ yada “ Genel Çarpma Özelliği” denir.
ÖR: A= ( 1,2,3,4,5 } kümesinin elemanları ile rakamları farklı üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir.
Y O B
4 X 3 X 2 = 24 değişik çift sayı yazılabilir.
ÖR: A= ( 0,2,3,4,5 } kümesinin elemanlarını kullanarak 5 ile bölünebilen kaç tane 3 basamaklı tek sayı vardır.
Y O B
4 X 5 X 1 = 20 tane sayı yazılabilir.
n C N olmak üzere,
1.2.3. _ _ _ _ _ .n
çarpımına n faktöriyel denir ve
n! = n .(n-1).(n-2)._ _ _ _ _ .3.2.1 biçiminde ifade edilir.
0! = 1
1! = 1
n! = n.(n-1)! Olarak tanımlanır.
ÖR:
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
15! 15.14.13!
13! 13! = 15.14 = 210
4) 8!+9! 8.7!+9.8.7! 7! (8+9.
7! 7! 7!
8+72 = 80
4!. ( n – 1 )!
n! = 6 => n = ?
4! . ( n-1 )!
n! = 6 =>
( 4.3.2.1 ) . ( n-1)! = 6 . n!
24. ( n-1)! = 6.n. ( n-1 )!
n 24. ( n-1 )! n = 4
6 . ( n-1 )!
PERMÜTASYON
Bir kümenin elemanlarının belli bir sıraya göre dizilişlerinin her birine bir permütasyon denir.
ÖR:
A = ( 1,2,3 } kümesinin permütasyonlarını yazalım.
( 1,2,3 ) ( 2,3,1 )
( 1,3,2 ) ( 3,1,2 )
( 2,1,3 ) ( 3,2,1 )
n elemanlı bir kümenin n’li permütasyonlarının sayısı P(n,n) şeklinde gösterilir.P(n,n) ifadesi, n’den 1’e kadar ardışık doğal sayıların çarpımıdır.
Yani; P( n,n ) = n! ‘dir.
ÖR: “Ahmet” kelimesinin harfleri ile, 5 harfli anlamlı yada anlamsız kaç kelime yazılabilir.
P ( 5,5 ) = 5!
= 5.4.3.2.1
= 120 bulunur.
“n” Elemanlı Bir kümenin “r” li Permütasyonları
“n” ve “r” birer sayma sayısı ( n > r ) olmak üzere , n elemanlı bir kümenin elemanlarının r’li sıralanışına, “ n elemanlı kümenin r’li permütasyonu “ denir.ve
P ( n,r ) şeklinde gösterilir.
P ( n,r ) permütasyonlarının sayısı,
P ( n,r ) = n! İfadesi ile bulunur.
( n-r )!
Başka bir ifadeyle P ( n,r ) permütasyonlarının sayısını bulmak için, n’den geriye doğru, r tane ardışık çarpan çarpılır.
ÖR:
1) P ( 5,2 ) 5! 5.4.3! = 20
( 5-2 )! 3!
2) P ( 7,3 ) 7! 7.6.5.4! = 210
( 7-3 )! 4!
3) P ( 6,1 ) 6! 6.5! = 6
( 6-1 )! 5!
ÖR:
P ( 5,3 ) = 5.4.3 = 60
P ( 6,2 ) = 6.5.4.3.2 = 720
P ( 7,4 ) = 7.6.5.4 = 840
ÖR: 5. P( n,3 ) = 2. P( n+1,3 ) eşitliğinde n’nin değeri kaçtır?
ÇÖZÜM:
5.n ( n-1 ). ( n-2 ) = 2.( n+1 ) n . ( n-1 )
5.( n-2 ) = 2 ( n+1 )
5 n-10 = 2 n+2
5 n –2n = 2+10
3 n = 12
n = 4
Dönel (Dairesel ) Sıralama
“n” elemanlı bir kümenin elemanlarının, bir çemberin noktaları üzerinde birbirine göre farklı dizilişlerinden her birine,”dairesel permütasyon “ denir.
“n” elemanlı bir kümenin elemanlarının, bir daire üzerinde değişik biçimde dairesel permü-
tasyonlarının sayısı,
( n-1 )! Tanedir.
ÖR: 7 kişi, yuvarlak bir masanın etrafında kaç değişik şekilde oturabilir?
ÇÖZÜM:
Bir kişinin yeri sabit tutulursa;
Oturuş sayısı = ( 7-1 )!
= 6!
6.5.4.3.2.1 = 720 bulunur.
ÖR:
Bir okulda, 3 yönetici ile 5 öğretmen vardır. Yöneticiler yan yana olmak üzere, 8 kişi yuvarlak bir masanın etrafına oturacaklardır. Oturuş biçimi kaç farklı biçimde olabilir?
ÇÖZÜM:
Yöneticiler bir arada olacağı için, üç yöneticiyi bir kişi gibi kabul edelim.
Bu duruma göre, yuvarlak masanın etrafına 1+5 = 6 kişi oturuyormuş gibi düşünebiliriz. Ancak,3 yönetici de kendi aralarında 3! Kadar farklı biçimde otururlar.
Buna göre, farklı oturuş biçimi,
3!.( 6-1 )! = 6 .120 =720 değişik biçimde olur.
0 yorum:
Yorum Gönder